Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0处取得极值，且过原点，曲线y=f（x）在P（-1，2）处的切线l的斜率是-3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，数m的取值范围；
（3）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由函数图象过原点求出d的值，由f^′（0）=0求出c的值，再由曲线y=f（x）在P（-1，2）处的切线l的斜率是-3，列关于a，b的方程组，解方程组求解a，b的值，则函数解析式可求；
（2）求出函数的导函数，由导函数的符号判断函数的单调区间，根据y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，说明区间[2m-1，m+1]是求出的函数增区间的子集，由集合的关系分类列关于m的不等式组，则m的取值范围可求；
（3）利用函数的单调性求出函数f（x）在区间[-1，1]内的最值，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|恒小于等于最大值与最小值差的绝对值，由此可以求得使不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立的m的最小值．

解答：解：（1）∵曲线y=f（x）过原点，∴d=0．
由f（x）=ax³+bx²+cx+d，得：f'（x）=3ax²+2bx+c，
又x=0是f（x）的极值点，∴f'（0）=0，∴c=0，
∵过点P（-1，2）的切线l的斜率为f'（-1）=3a-2b，
由

f(-1)=2 f′(-1)=-3

，得：

-a+b=2 3a-2b=-3

，解得：

a=1 b=3

．
故f（x）=x³+3x²；
（2）f'（x）=3x²+6x=3x（x+2），
令f'（x）＞0，即x（x+2）＞0，∴x＞0或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2]和[0，+∞）．
∵f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，∴[2m-1，m+1]⊆（-∞，-2]或[2m-1，m+1]⊆[0，+∞）；   
∴

m+1≤-2 2m-1＜m+1

或

2m-1≥0 2m-1＜m+1

．
解得：m≤-3或

1

2

≤m＜2；
（3）由（2）知，函数f（x）在[-1，0]上为减函数，在（0，1]上为增函数．
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4，∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，
故对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤M-N=4-0=4，
要使对任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，则m≥4．
所以，m最小值为4．

点评：本题考查了函数解析式的常用求法，考查了函数在某点处取得极值的条件，注意的是极值点处的导数等于0，考查了函数在某点处切线的斜率与该点处导数的关系，函数在某一区间内任意两点的函数值的差的绝对值，一定小于等于函数在该区间内最大值与最小值差的绝对值．此题是中档题．