Question

10．设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x-a²-5=0}．
（1）若{2}∩B={2}，求实数a的值；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件A∩B={2}，得2∈B，建立方程即可求实数a的值．
（2）A∩B=B，等价为B⊆A，然后分别讨论B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）有题可知：A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，
∵A∩B={2}，
∴2∈B，
将2代入集合B中得：4+4（a-1）+（a²-5）=0
解得：a=-5或a=1
当a=-5时，集合B={2，10}符合题意；
当a=1时，集合B={2，-2}，符合题意
综上所述：a=-5，或a=1．
（2）若A∩B=B，则B⊆A，
∵A={1，2}，
∴B=∅或B={1}或{2}或{1，2}．
若B=∅，则△=4（a-1）²-4（a²-5）=24-8a＜0，解得a＞3，
若B={1}，则$\left\{\begin{array}{l}△=24-8a=0\\ x=-\frac{2（a-1）}{2}=1-a=1\end{array}\right.$，不存在满足条件的a值．
若B={2}，则 $\left\{\begin{array}{l}△=24-8a=0\\ x=-\frac{2（a-1）}{2}=1-a=2\end{array}\right.$，不存在满足条件的a值．
若B={1，2}．则$\left\{\begin{array}{l}△=24-8a＞0\\ 1+2=-2（a-1）\\ 1×2={a}^{2}-5\end{array}\right.$，不存在满足条件的a值．
综上a＞3．

点评 本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，将条件A∩B=B转化为B⊆A是解决本题的关键．