题目内容
设在数列{an}中，a1=
，an+1=
，
（1）求a2，a3，a4；
（2）根据（1）猜测an的表达式；
（3）用数学归纳法证明上述an的表达式．
| 1 |
| 2 |
| 3an |
| an+3 |
（1）求a2，a3，a4；
（2）根据（1）猜测an的表达式；
（3）用数学归纳法证明上述an的表达式．
分析：（1）再递推公式中，令n=1求出a 2，令n=2求出 a 3 令n=3 求出 a4
（2）结合（1）的计算结果进行归纳猜想．
（3）按照数学归纳法的思想和步骤进行证明即可．
（2）结合（1）的计算结果进行归纳猜想．
（3）按照数学归纳法的思想和步骤进行证明即可．
解答：解：（1）a2=
=
，
a3=
=
，
a4=
=
；
（2）根据（1）猜测an的表达式an=
；
（3）
证明：（1）当n=1时，a1=
=
，等式成立
（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=
则当n=k+1时，ak+1=
=
=
=
，等式也成立
由（1）（2）可知，上述猜想对一切n∈N*都成立
3×
| ||
|
| 3 |
| 7 |
a3=
3×
| ||
|
| 3 |
| 8 |
a4=
3×
| ||
|
| 1 |
| 3 |
（2）根据（1）猜测an的表达式an=
| 3 |
| n+5 |
（3）
证明：（1）当n=1时，a1=
| 3 |
| 1+5 |
| 1 |
| 2 |
（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=
| 3 |
| k+5 |
则当n=k+1时，ak+1=
| 3ak |
| ak+3 |
| ||
|
| 3 |
| k+6 |
| 3 |
| (k+1)+5 |
由（1）（2）可知，上述猜想对一切n∈N*都成立
点评：本题考查数列的递推公式、归纳推理，以及数学归纳法．
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(an－an+1)(n∈N*)
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