Question

已知f(n)=sin

nπ

4

，(n∈Z)，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=

2

2

+1

．

Answer 1

分析：把函数解析式中n换为n+6，变形后利用诱导公式sin（2π+α）=cosα进行化简，得到f（n+8）=f（n），即函数周期是8，把所求的式子中括号去掉后，重新结合，根据函数的周期化简，即可求出值．

解答：解：∵f(n)=sin

nπ

4

，(n∈Z)，
∴f（n+8）=sin（2π+

nπ

4

）=sin

nπ

4

=f（n），
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）
=251×（sin

π

4

+sin

2π

4

+sin

3π

4

+sin

4π

4

+sin

5π

4

+sin

6π

4

+sin

7π

4

+sin

8π

4

）+sin

2009π

4

+sin

2010π

4

=251×（

2

2

+1+

2

2

+0-

2

2

-1-

2

2

+0）+sin

π

4

+sin

π

2

=

2

2

+1．
故答案为：

2

2

+1．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，其中根据题意利用了诱导公式得出f（n+8）=f（n）是解本题的关键．