Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-m）．
（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=4时，有|2x+1|+|x+2|＞4，故有 ①

-2x-1-x-2＞4 x＜-2

，或 ②

-2x-1+ (x+2)＞4  -2≤x＜- 1 2

，或 ③

2x+1+ (x+2)＞4  x ≥- 1 2

．分别求出①②③的解集，
再取并集即得所求．
（2）由题意可得 m≤|2x+1|+|x+2|-2，令g（x）=|2x+1|+|x+2|-2，求得g（x）的最小值等于-

1

2

，可得 m≤-

1

2

．

解答：（1）当m=4时，函数f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-4），故有|2x+1|+|x+2|＞4．
故有 ①

-2x-1-x-2＞4 x＜-2

，或 ②

-2x-1+ (x+2)＞4  -2≤x＜- 1 2

，或 ③

2x+1+ (x+2)＞4  x ≥- 1 2

．
解①得 x＜-

7

3

； 解②得 x∈∅； 解③得 x＞

1

3

．
取并集可得函数f（x）的定义域为  {x|x＜-

7

3

或x＞

1

3

}．-----（5分）
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，则有|2x+1|+|x+2|-m≥2，即  m≤|2x+1|+|x+2|-2．
令  g(x)=|2x+1|+|x+2|-2=

-3x-5，x≤-2 -x-1，-2＜x＜- 1 2 3x+1，x≥- 1 2

，可得g(x)≥-

1

2

，即 g（x）的最小值等于-

1

2

∴m≤-

1

2

．-------（5分）

点评：本题主要考查对数函数的定义域的求法，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．