调查表明.中年人的成就感与收入.学历.职业的满意度的指标有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x.y.z.并对它们进行量化:0表示不满意.1表示基本满意.2表示满意.再用综合指标w=x+y+z的值评定中年人的成就感等级:若w≥4.则成就感为一级,若2≤w≤3.则成就感为二级,若0≤w≤1.则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现
将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标w=x+y+z的值评定中年人的成就感等级：若w≥4，则成就感为一级；若2≤w≤3，则成就感为二级；若0≤w≤1，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：

人员编号	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，1，1）	（1，2，1）
人员编号	A₆	A₇	A₈	A₉	A₁₀
（x，y，z）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，0，0）	（1，1，1）

（Ⅰ）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的职业满意度指标相同的概率；
（Ⅱ）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为a，从成就感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a-b，求X的分布列及其数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设事件A为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为

C

2

10

=45，职业满意度指标相同的所有可能结果数为

C

2

5

+

C

2

4

=10+6=16，由此能求出他们的职业满意度指标相同的概率．
（Ⅱ）由已知得随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及其数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设事件A为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．
职业满意度指标为0的有：A₉；
职业满意度指标为1的有：A₂，A₄，A₅，A₇，A₁₀，
职业满意度指标为2的有：A₁，A₃，A₆，A₈．
从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为

C

2

10

=45，（2分）
职业满意度指标相同的所有可能结果数为

C

2

5

+

C

2

4

=10+6=16，（4分）
所以他们的职业满意度指标相同的概率P（A）=

16

45

．（5分）
（Ⅱ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：

人员编号	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅	A₆	A₇	A₈	A₉	A₁₀
综合指标	4	4	6	2	4	5	3	5	1	3

其中成就感是一级的（w≥4）有：A₁、A₂、A₃、A₅、A₆、A₈，共6名，
成就感不是一级的（w＜4）有A₄、A₇、A₉、A₁₀，共4名．
随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5．（6分）
P（X=1）=

C

1

3

C

1

2

C

1

6

C

1

4

=

1

4

，（7分）
P（X=2）=

C

1

3

C

1

1

+

C

1

2

C

1

1

+

C

1

2

C

1

1

C

1

6

C

1

4

=

7

24

，（8分）
P（X=3）=

C

1

3

C

1

1

+

C

1

2

C

1

1

+

C

1

2

C

1

1

C

1

6

C

1

4

=

7

24

，（9分）
P（X=4）=

C

1

1

C

1

1

+

C

1

2

C

1

1

C

1

6

C

1

4

=

1

8

，（10分）
P（X=5）=

C

1

1

C

1

1

C

1

6

C

1

4

=

1

24

，（11分）
所以X的分布列为

X

1

2

3

4

5

P

1

4

7

24

7

24

1

8

1

24

（12分）
所以E（X）=1×

1

4

+2×

7

24

+3×

7

24

+4×

1

8

+

1

24

=

29

12

．（13分）

点评：本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．

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