Question

已知f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

Answer 1

思路　题干中已知函数的单调性，利用函数单调性大多是根据自变量取值的大小推导函数值的大小，当已知两个函数值的关系时，也可以推导自变量的取值的大小．多个函数值的大小关系，则不容易直接利用单调性，故可考虑利用四种命题的关系寻求原命题的等价命题．

解析　(1)逆命题：

已知函数f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，若

f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

(用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a.

∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．

∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立．

从而a＋b≥0成立．逆命题为真．

(2)逆否命题：

已知函数f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，若

f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.

原命题为真，证明如下：

∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，

∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．

∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．

∴原命题为真命题．

∴其逆否命题也为真命题．