Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，a₄=

1

4

，则a₁a₂+a₂a₃+…+a₅a₆=

341

128

．

Answer 1

分析：由题意可得数列{a_n}是 首项a₁=2，公比q=

1

2

 的等比数列，求出通项公式，可得数列{a_na_n+1 }是公比为

1

4

的等比数列，利用等比数列的前n项和公式，a₁a₂+a₂a₃+…+a₅a₆为数列{a_na_n+1 }的前5项和．

解答：解：由数列{a_n}是等比数列，a₁=2，a₄=

1

4

，可得 公比q=

1

2

，首项a₁=2，
∴a_n=(

1

2

)n-2，a_n+1=(

1

2

)n-1，∴a_na_n+1 =(

1

2

)2n-3，又a₁a₂=2，
∴数列{a_na_n+1 }是2为首项，

1

4

公比为的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a₅a₆=

2×[1-( 1 4 )5]

1- 1 4

=2×

4

3

×(1-

1

210

)=

341

128

．
故答案为

341

128

点评：本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，判断数列{a_na_n+1 }是公比为

1

2

 的等比数列，是解题的关键，属中档题．