Question

【题目】已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为．

（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出的方程；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】⑴见解析⑵四边形OAPB能为平行四边形，或．

【解析】

（1）设直线()，，，，通过直线与椭圆联立及坐标表示向量即可证得结论；

（2）由⑴得OM的方程为．设点P的横坐标为，通过直线与椭圆联立解得，根据题意有，解方程即可得解.

⑴设直线()，，，，

将代入中，得，

故，，

于是直线OM的斜率，即，所以命题得证．

⑵四边形OAPB能为平行四边形．

因为直线过点，所以不过原点且与C有两个交点的充要条件是且．

由⑴得OM的方程为．设点P的横坐标为．

由，得，即．

将点的坐标代入直线的方程得，因此，

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即．

于是，

解得，．所以当四边形OAPB为平行四边形时，l的方程为或．