Question

（本小题满分14分）已知函数，其中
（Ⅰ）求在上的单调区间；
（Ⅱ）求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（III）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？

Answer 1

(1)在上的单调减区间为， ：单调增区间为 
(2)在上的最大值为2
(3) 对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

试题分析：（Ⅰ）因为
当时，，
解得到；解得到或．所以在上的单调减区间为， ：单调增区间为     ………………4分
（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）知在和上单调递减，在上单调递增，从而在处取得极大值．
又，所以在上的最大值为2．……………………6分
②当时，，当时，在上单调递增，所以在上的最大值为．所以当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为2.                             …………………………8分
（Ⅲ）假设曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则只能在轴的两侧，不妨设，则，且． …9分
因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，
即：（1）             ……………………………………10分
是否存在点等价于方程（1）是否有解．
若，则，代入方程（1）得：，此方程无解.…11分
若，则，代入方程（1）得到：             ……12分
设，则在上恒成立．所以在上单调递增，从而，即有的值域为（不需证明），所以当时，方程有解，即方程（1）有解．
所以，对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．       …………………14分
点评：研究函数中的单调性以及最值问题，一般运用导数的思想，结合导数的符号来判定，进而确定结论，属于中档题。