Question

    直线l:ax－y－1=0与曲线C：x²－2y²=1交于P、Q两点，

    (1)当实数a为何值时，?

    (2)是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),,     ∴(1－2a2)x2+4ax－3=0.     若1－2a2=0,即时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点，与题意不合，     ∴1－2a2≠0,Δ=(4a)2－4(1－2a2)(－3)＞0,     ∴.       (*) ∴.     ∴(x1－x2)2=4,∴(x1+x2)2－4x1x2=4.     ∴. ∴.     ∴所求的实数a的值为a=±1.     (2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O，则由OP⊥OQ，得y1·y2=－x1·x2.     ∴(ax1－1)·(ax2－1)=－x1·x2,     ∴(1+a2)x1·x2－a(x1+x2)+1=0.     把(*)式代入得：a2=－2与a为实数矛盾，     ∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点.