Question

【题目】(2015·湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链
与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（2）（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

8

【解析】 （Ⅰ）因为,当M,N在x轴上时，等号成立；同理，当重合，即轴时，等号成立，所以椭圆的中心为原点，长半轴长为4，短半轴为2，其方程为。
（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.
(2)当直线的斜率存在时，设直线,由消去,可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以,即.又由可得;同理可得.由原点到直线的距离为和,.②将①代入②得，.当时,；当时，.因,则,,所以，当且仅当时取等号。所以时，的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.