Question

△ABC的三条边长BC=a，AC=b，AB=c，O为△ABC内一点，a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，则点O是△ABC的（　　）

A．外心

B．重心

C．内心

D．垂心

Answer 1

分析：先延长AO与BC相交于D，设

OD

=t

AO

，由条件得

AO

=

1

a

(b

OB

+c

OC

)，从而

OD

=

tb

a

OB

+

tc

a

OC

，利用D，B，C三点共线，得出t=

a

b+c

，再代入

OD

=

a

b+c

AO

=

a

b+c

×

1

a

(b

OB

+c

OC

)中得到

| BD |

| DC |

=

c

b

，根据三角形内角平分线的性质定理可知，AD是角BAC的平分线，最终得出点O是△ABC的内心．

解答：解：延长AO与BC相交于D，设

OD

=t

AO

，
∵a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，
∴

AO

=

1

a

(b

OB

+c

OC

)，
∴

OD

=t ×

1

a

(b

OB

+c

OC

)，
即

OD

=

tb

a

OB

+

tc

a

OC

，
∵D，B，C三点共线，
∴

tb

a

+

tc

a

=1，∴t=

a

b+c

，
∴

OD

=

a

b+c

AO

=

a

b+c

×

1

a

(b

OB

+c

OC

)
即

OD

=

b

b+c

OB

+

c

b+c

OC

，
也即b(

OD

-

OB

)=c(

OC

-

OD

)，
⇒b

BD

=c

DC

⇒

| BD |

| DC |

=

c

b

，
根据三角形内角平分线的性质定理可知，AD是∠BAC的平分线，
同理可得BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB分线．
则点O是△ABC的内心．
故选C．

点评：本小题主要考查三角形五心、向量的运算、三点共线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．