Question

（本小题共14分）已知定义在上的函数

（1）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；

（2）若，且对任意的1恒成立，求的最大值.

Answer 1

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求导，由导数可知函数在区间上单调递增，又，，由零点存在定理可知，存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）由不等式恒成立分离参数得，构造函数，求函数的最小值即可.

试题解析：【解析】
（1）由，可得，

故在上单调递增，

而，，

所以存在唯一的零点.（7分）

（2）由（1）存在唯一的零点显然满足：，且当时，

；当时，.

当时，等价于.

设，

则，故与同号，

因此当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

故.

由题意有，又，而，故的最大值是3.（14分）

考点：函数与导数，函数与方程，不等式恒成立.