Question

【题目】已知数列的前项和为.数列满足，.

（1）若，且，求正整数的值；

（2）若数列，均是等差数列，求的取值范围；

（3）若数列是等比数列，公比为，且，是否存在正整数，使，，成等差数列，若存在，求出一个的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）存在，k=1.

【解析】

（1）在原式中令n=m，代入，即可解出m；（2）设出数列，的首项和公差，代入原式化简得一个含n的恒等式，所以对应系数相等得到；（3）当时，，，为，，成等差数列.

解：（1）因为，且

所以

解得

（2）记数列，首项为，公差为；数列，首项为，公差为

则，

化简得：

所以

所以的取值范围

（3）当时，，，为，，成等差数列.

下面论证当时，，，不成等差数列

因为，所以

所以，所以

所以

若，，成等差数列，则

所以，所以，解得

当时，，，为，，

因为

所以

所以当时，，，不成等差数列

综上所述：存在且仅存在正整数时，，，成等差数列