Question

【题目】如图，在矩形中，,,是的中点，将沿向上折起，使平面平面

(Ⅰ)求证：;

(Ⅱ)求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ）见解析；

(Ⅱ) 90°.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意可得，的值，可推出，根据平面⊥平面且是交线，即可证明⊥平面，从而证明；(Ⅱ) 设中点为,中点为,连接，可推出，则⊥平面，即可以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间向量夹角的余弦公式即可得结果.

试题解析：（Ⅰ）证明：由题意可知，,.

∴在中 ,,所以；

∵平面⊥平面且是交线，平面

∴⊥平面

∵平面

∴.

(Ⅱ) 解：设中点为,中点为,连接.

∴

∴⊥平面

∴，.

∵

∴

以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图

则，从而, , .

设为平面的法向量，则，可以取.

设为平面的法向量，则可以取.

因此，，有，即平面⊥平面.

故二面角的大小为90°.