Question

设{a_n}是各项都为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=13，a₅+b₃=21．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列和等比数列的通项公式建立方程组，求出公差和公比，由此能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）先求出数列{a_n}的前n项和S_n，再求出S_n•b_n的表达式，然后利用分组求和法、错位相减法和等等数列前n项和公式能求出T_n．

解答：解：（Ⅰ）设各项都为正数的等比数列{a_n}的公比是q，且q＞0，
等差数列{b_n}的公差是d，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₅=13，a₅+b₃=21，
∴

q2+1+4d=13 q4+1+2d=21 q＞0

，即

q2=12-4d q4=20-2d q＞0

，
整理，得2q⁴-q²-28=0，q＞0
解得d=2，q=2，
∴a_n=2^n-1，b_n=1+（n-1）d=2n-1．
（Ⅱ）∵{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∵b_n=2n-1，
∴S_n•b_n=（2n-1）•（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-2n+1，
∴T_n=[1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ]-2（1+2+3+…+n）+n，
设S=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
则2S=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-S=2+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S=2+（n+1）•2ⁿ⁺²，
∴T_n=[1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ]-2（1+2+3+…+n）+n
=2+（n+1）•2ⁿ⁺²-2×

n(n+1)

2

+n
=（n+1）•2ⁿ⁺²-n²+2．

点评：本题考查数列求和，涉及到等比数列、等差数列的通项公式、前n项和公式、分组求和法、裂项求和法等知识点，是中档题．