Question

设{a_n}是各项都为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n-b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）设数列{a_n}的公比为q，数列{b_n}的公差为d，根据等差等比数列的通项公式，结合题意建立关于q、d的方程组，解出q=2且d=4，即可得到数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）由（1）的结论，算出{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1，从而得到S_n-b_n=2ⁿ-4n+2，再利用等差等比数列的前n项和公式加以计算，即可得到数列{S_n-b_n}的前n项和T_n的表达式．
解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，等差数列{b_n}的公差为d，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=25．
∴q²+（1+4d）=21，q⁴+（1+2d）=25
解之得q=2，d=4（舍去负值）
∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1，b_n=b₁+（n-1）d=4n-3
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，{b_n}的通项公式b_n=4n-3；
（2）由（1）得{a_n}的前n项和S_n==2ⁿ-1，
∴S_n-b_n=2ⁿ-1-（4n-3）=2ⁿ-4n+2
因此，{S_n-b_n}的前n项和为
T_n=（2¹-4×1+2）+（2²-4×2+2）+…+（2ⁿ-4×n+2）
=（2+2²+…+2ⁿ）-4（1+2+…+n）+2n
=2ⁿ⁺¹-2-4×+2n=2ⁿ⁺¹-2n²-2．
点评：本题给出等差数列和等比数列满足的条件，求它们的通项公式并依此求另一个数列的前n项和．着重考查了等差等比数列的通项公式、前n项和公式等知识，考查了方程思想和转化化归的数学思想，属于中档题．