Question

求证:斜边上的高、斜边上的中线对应成比例的两直角三角形相似.

Answer 1

如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,Rt△A′B′C′,∠C′=90°,CD、CE、C′D′、C′E′分别是它们斜边上的高和中线,且.

求证:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.

图1-3-15

证明:在Rt△CDE和△C′D′E′中,

∵,∴Rt△CDE∽Rt△C′D′E′.

∴∠CED=∠C′E′D′.

又∵CE是斜边中线,∴CE=AB=BE.∴∠ECB=∠B.

又∵∠B+∠ECB=∠CED,∴∠B=∠CED,

同理,∠B′=∠C′E′D′.∴∠B=∠B′.

∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.