Question

（本小题满分13分）

如图，在三棱柱中，面，，

，是的中点．

    （I）求证：；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角；

    （Ⅲ）若为中点，求二面角的正切值．

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（I）因为面，面，所以

                                       -----------------1分

由,为的中点得到         -----------------2分

∵       ∴面         ----------------3分

∴                                      -----------------4分

（Ⅱ）取的中点，连，，

         则AE∥A₁E₁，∴∠E₁A₁C是异面直线A与A₁C所成的角。----------------6分

设，则

                中，  ------------------8分

所以异面直线AE与A₁C所成的角为。               ------------------9分

（Ⅲ）连结AG ,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥A     C----10分

         又平面ABC⊥平面ACC₁A₁   EP⊥平面ACC₁A₁                 -------------11分

         而PQ⊥AG   EQ⊥AG．∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．-------------12分

由EP=,AP=,PQ=,得           

所以二面角C-AG-E的平面角正切值是                       -----------13分