Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，，，直线B₁C与平面ABC成30°角。

   （1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；

   （2）求二面角B——A的正切值；

Answer 1

、方法一：解：（1）三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱

    底面ABC

    又AC面ABC

    AC

    又

   

    又AC面B1AC

    …………（6分）

   （2）三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱

    底面ABC

    为直线B1C与平面ABC所成的角，即

    过点A作AM⊥BC于M，过M作MN⊥B1C于N，加结AN。

    ∴平面BB1CC1⊥平面ABC

    ∴AM⊥平面BB1C1C

    由三垂线定理知AN⊥B1C从而∠ANM为二面角B—B1C—A的平面角。

    设AB=BB1=

    在Rt△B1BC中，BC=BB1

   在Rt△BAC中，由勾股定理知

    又

    在Rt△AMC中，

    在Rt△MNC中，

    在Rt△AMN中，

    即二面角B—B1C—A的正切值为

方法二：可以用空间向量求解，过程略。