Question

设函数f(x)＝xsinx(x∈R)．

(1)证明f(x＋2kπ)－f(x)＝2kπsinx，其中k为整数；

(2)设x₀为f(x)的一个极值点，证明[f(x₀)]²＝．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)由函数f(x)的定义，对任意整数k，有f(x＋2kπ)－f(x)＝(x＋2kπ)sin(x＋2kπ)－xsinx＝(x＋2kπ)sinx－xsinx＝2kπsinx． 　　(2)函数f(x)在定义域R上可导，(x)＝sinx＋xcosx，① 　　令(x)＝0，得sinx＋xcosx＝0．显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化简为x＝－tanx．如图所示，此方程一定有解．f(x)的极值点x0一定满足tanx0＝－x0． 　　由sin2x＝，得sin2x0＝． 　　因此[f(x0)]2＝x02sin2x0＝． 　　解析：(1)根据三角函数的公式化简；(2)根据极值的概念表示出[f(x0)]2，进而证明．