Question

（2009•卢湾区一模）若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为q，集合M={x|x=

lim

n→∞

 

Sn

S2n

，q≠-1，q∈R}，则用列举法表示M=

{0，

1

2

，1}

．

Answer 1

分析：由于涉及等比数列{a_n}的前n项和，故求和时，需要进行分类讨论，同时注意极限的求解方法

解答：解：当q=1时，S_n=n，S_2n=2n，∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

1

2

当q≠1时，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，S2n=

a1(1-q2n)

1-q

，∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

lim

n→∞

1

1+qn

当q＞1时，

lim

n→∞

Sn

S2n

=

lim

n→∞

1

1+qn

=0
当0＜q＜1时，∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

lim

n→∞

1

1+qn

=1
故答案为{0，

1

2

，1}

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查等比数列的极限问题，运用等比数列的前n项和公式，需要进行分类讨论．