Question

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未击中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三射击，此时目标已在200m处，若第三次命中记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m处击中目标的概率为0.5，他的命中率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的，设这位射手在这次射击比赛中的得分数为ξ．
（I）求ξ的分布列；
（II）求ξ的数学期望．

Answer 1

解：（I）设在xm处击中目标的概率为P（x），
则依题意有P（x）=，
又由题意知：，
所以k=5000，则P（x）=，…（3分）
从而在150m处击中目标的概率为，…（5分）
在200m处击中目标的概率为．…（6分）
于是P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
，
，…（9分）
从而ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P

…（10分）
（II）Eξ=．　　　　　…（13分）
分析：（I）设在xm处击中目标的概率为P（x），则依题意有P（x）=，又由题意知：，所以k=5000，则P（x）=，从而在150m处击中目标的概率为，在200m处击中目标的概率为．由此能求出ξ的分布列．（II）利用ξ的分布列，能求出Eξ．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．