Question

(13分)（理科）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且以抛物线的准线为双曲线的一条准线．动直线过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）无论直线绕点怎样转动，在双曲线上是否总存在定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2）双曲线上存在定点，使恒成立

（理科）解：（1）设，则由题意有：
  ∴，，
故双曲线的方程为，                        ……………4分
（2）解法一：由（1）得点为
当直线l的斜率存在时，设直线方程，，
将方程与双曲线方程联立消去得：，
∴   解得                  ……………6分
假设双曲线上存在定点，使恒成立，设为
则：




∵，∴，
故得：对任意的恒成立，
∴，解得
∴当点为时，恒成立；               ……………10分
当直线l的斜率不存在时，由，知点使得也成立．
又因为点是双曲线的左顶点，                    ……………12分
所以双曲线上存在定点，使恒成立． ……………13分
解法二（略解）：当直线l的斜率不存在时，由，，，且点在双曲线上可求得，
当直线l的斜率存在时，将，，代入，经计算发现对任意的恒成立，从而恒有成立．
因而双曲线上存在定点，使恒成立．