直角坐标系中.以坐标原点为极点.x轴的非负半轴为极轴.并在两种坐标系中取相同的长度单位．直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$.曲线c的极坐标方程为ρ2-10ρcosθ+9=0.点P是直线l上的点.过点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线c的极坐标方程为ρ²-10ρcosθ+9=0，点P是直线l上的点，过点P的直线与曲线c相切于点M，则|PM|最小值为4．

分析直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t即可化为直角坐标方程；利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可把曲线C的极坐标方程ρ²-10ρcosθ+9=0，化为直角坐标方程．
当PC⊥l时，|PM|取得最小值=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$．

解答解：直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为x+y+3=0；
曲线C的极坐标方程为ρ²-10ρcosθ+9=0，化为x²+y²-10x+9=0，配方为（x-5）²+y²=16．
当PC⊥l时，|PM|取得最小值=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5+0+3}{\sqrt{2}}）^{2}-16}$=4．
故答案为：4．

点评本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．