Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+2．
（Ⅰ）若f（x）在x=1时，有极值-1，求b，c的值；
（Ⅱ）当b为非零实数时，证明f（x）的图象不存在与直线（b²-c）x+y+1=0平行的切线．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1时，有极值-1，建立方程，由此可求b、c的值；
（2）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b²-c）x+y+1=0平行，从而f′（t）=c-b²，利用方程△＜0，可得结论；

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵f（x）在x=1时，有极值-1，
∴f′（1）=0，f（1）=-1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5；
（2）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b²-c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t²+2bt+c，直线（b²-c）x+y+1=0的斜率为c-b²，
∴3t²+2bt+c=c-b²，
∴3t²+2bt+b²=0
∴△=4b²-12b²=-8b²，
又∵b≠0，∴△＜0．
从而3t²+2bt+b²=0无解，因此不存在t，使f′（t）=c-b²，
故f（x）图象不存在与直线（b²-c）x+y+1=0平行的切线．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，体现了解方程的思想方法，综合性强．