Question

已知数列{a_n}中，an=2np+qn（p，q为常数）
（1）若p=q=1，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若p=1，问常数q如何取值时，使数列{a_n}为等比数列？

Answer 1

（1）p=q=1时，a_n=2ⁿ+n-----------------------------------（2分）
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）=

2(1-2n)

1-2

+

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺¹-2+

n(n+1)

2

，----（7分）
（2）p=1时，a_n=2ⁿ+qn，---------------------------------------------（8分）
得a₁=2+q，a₂=4+2q，a₃=8+3q，a₄=16+4q-------------------------------------（9分）
若数列{a_n}为等比数列，则

a

23

=a₂•a₄，-----------------------（11分）
即（8+3q）²=（4+2q）（16+4q），得q=0，--------------------------------------（13分）
此时a_n=2ⁿ，得{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴q=0---------------------------------------------（14分）