题目内容
已知函数f（x）=ln（x+2）-x2+bx+c．在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值．
与直线3x+7y+2=0垂直的直线的斜率为
，
令f′(1)=
，得b=4，
∵f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，
∴c=5，f′(x)=
-2x+4，
由f′（x）=0，得x=
，
当x∈[0，
]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；
当x∈(
，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减．
∵f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，
所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5．
| 7 |
| 3 |
令f′(1)=
| 7 |
| 3 |
∵f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，
∴c=5，f′(x)=
| 1 |
| x+2 |
由f′（x）=0，得x=
3
| ||
| 2 |
当x∈[0，
3
| ||
| 2 |
当x∈(
3
| ||
| 2 |
∵f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，
所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5．
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