Question

（12分）

已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知；

（1）求证：平面；

（2）求到平面的距离；

（3）求二面角的余弦值；

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 略

(2) 略

(3)

【解析】（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D   

∴平面A1ACC1⊥平面ABC∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC  

 ∴BC⊥平面A1ACC1    ∴BC⊥AC1

∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B   ∴AC1⊥平面A1BC ----------4分

（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系

∵AC1⊥平面A1BC    ∴AC1⊥A1C

∴四边形A1ACC1是菱形    ∵D是AC中点  

 ∴∠A1AD=60°∴A(2,0,0)  A1(1,0,)  B(0,2,0)

  C1(-1,0,)    ∴=(1,0,)  =(-2,2,0)

设平面A1AB的法向量=(x,y,z)   ∴  令z=1  ∴=(,,1)

∵=(2,0,0)    ∴   ∴C1到平面A1AB的距离是 --8分

（3）平面A1AB的法向量=(,,1)    平面A1BC的法向量=(-3,0,)

∴    设二面角A-A1B-C的平面角为，为锐角，

∴    ∴二面角A-A1B-C的余弦值为     ---------------12分