Question

(本题满分14分)已知函数。

（Ⅰ）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求在上的最大值和最小值；

（Ⅲ）当时，求证：对大于的任意正整数，都有 。

Answer 1

解：（I）      ……………1分

∵  函数在上为增函数

∴  对恒成立，               ……………………2分

∴  对恒成立，即对恒成立

∴                                                ……………………4分

（II）当时，，

∴  当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，          ………………6分

∴ 在区间上有唯一极小值点，故  ……7分

又  

∵      ∴ 

       ∴ 在区间上的最大值

综上可知，函数在上的最大值是，最小值是。………………9分

（Ⅲ）当时，，故在上为增函数。

当时，令，则，故 ……………………11分

∴  即………12分

∴ 

       ∴    …………………13分

     ∴ 

即对大于的任意正整数，都有     ……………………14分