Question

已知椭圆C：的离心率是，其左、右顶点分别为A₁，A₂，B为短轴的端点，△A₁BA₂的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）F₂为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A₁，A₂的任意一点，直线A₁P，A₂P与直线x=4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF₂相切于点F₂．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知，可得，解得a=2，． …（4分）
故所求椭圆方程为． …（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知A₁（-2，0），A₂（2，0），F₂（1，0）．
设，则．
于是直线A₁P方程为 ，令x=4，得；
所以M（4，），同理N（4，）． …（7分）
所以=（3，），=（3，）．
所以=（3，）•（3，）===．
所以F₂M⊥F₂N，点F₂在以MN为直径的圆上． …（9分）
设MN的中点为E，则E（4，）． …（10分）
又=（3，），，
所以=（3，）
=．
所以F₂E⊥F₂P． …（12分）
因为F₂E是以MN为直径的圆的半径，E为圆心，F₂E⊥F₂P，
故以MN为直径的圆与直线PF₂相切于右焦点． …（13分）
分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率是，其左、右顶点分别为A₁，A₂，B为短轴的端点，△A₁BA₂的面积为，建立方程组，可求椭圆方程；
（Ⅱ）求出M、N的坐标，利用向量证明F₂M⊥F₂N，点F₂在以MN为直径的圆上，确定MN的中点E的坐标，利用向量证明F₂E⊥F₂P，即可证得以MN为直径的圆与直线PF₂相切于右焦点．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点的坐标，利用向量的数量积证明垂直关系．