Question

已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15，f（2），f（5），f（14）成等比数列，设a_n=f（n），（ n∈N•）
（1）求数列{a_n}的前n项和T_n；
（2）设bn=2n，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax+b，（a≠0）由f（8）=15，8a+b=15；由f（2），f（5），f（14）成等比数列可得f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）．联立即可解得a，b，可得f（x）=2x-1．即可得到a_n，再利用等差数列的前n项和公式即可得到T_n．
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）设f（x）=ax+b，（a≠0）由f（8）=15，8a+b=15，----------①，
由f（2），f（5），f（14）成等比数列可得
f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）⇒3a²+6ab=0，
∵a≠0∴a=-2b------②
由①②得a=2，b=-1，
∴f（x）=2x-1．
∴a_n=2n-1，
因此数列{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列．
∴T_n=a1+a2+…+an=

n(1+2n-1)

2

=n2．
（2）∵anbn=(2n-1)•2n
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2S_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．