Question

（2013•牡丹江一模）已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2011）+f（2012）的值为（　　）

A．-1

B．-2

C．2

D．1

Answer 1

分析：由题设知函数在[0，+∞）内一个周期T=2，函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-2011）+f（2012）=-f（2011）+f（2012）=-f（1）+f（0），再由当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），能求出f（-2011）+f（2012）的值．

解答：解：∵对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），
∴函数在[0，+∞）内的一个周期T=2，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（-2011）+f（2012）=-f（2011）+f（2012）
=-f（2011）+f（2012）
=-f（1）+f（0）
又当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），
∴f（1）=log₂（1+1）=1
f（0）log₂（0+1）=0
因此f（-2011）+f（2012）
=-f（1）+f（0）
=-1+0
=-1．
故选A．

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理运用等价转化．