Question

（2010•邯郸二模）设数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=

2

3

且3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N），
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：T_n＜

7

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式可得d，易求a₁，从而可得a_n，由3S_n=S_n-1+2得n≥3时，3S_n-1=S_n-2+2，两式相减可得递推式，根据递推式可判断{b_n}为等比数列，由等比数列通项公式可求b_n，注意n的范围及检验．
（Ⅱ）由（Ⅰ）易求c_n，利用错位相减法可求得T_n，根据T_n可得结论；

解答：解：（Ⅰ） 由数列{a_n}为等差数列，得公差d=

1

2

(a7-a5)=3，
易得a₁=2，所以a_n=3n-1．
由3S_n=S_n-1+2得，b_n=2-2S_n，令n=1，则b₁=2-2S₁，
又S₁=b₁，所以b₂=2-2（b₁+b₂），则b2=

2

9

．
由3S_n=S_n-1+2，当n≥3时，得3S_n-1=S_n-2+2，
两式相减得，3（S_n-S_n-1）=S_n-1-S_n-2，即3b_n=b_n-1，

bn

bn-1

=

1

3

，
又

b2

b1

=

1

3

，
所以{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
于是bn=

2

3n

．
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

．
∴T_n=2[2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+（3n-1）•

1

3n

]，

1

3

Tn=2[2•

1

32

+5•

1

33

+…+（3n-4）•

1

3n

+（3n-1）•

1

3n+1

]
两式相减得，

2

3

Tn=2[3•

1

3

+3•

1

32

+3•

1

33

+…+3•

1

3n

-

1

3

-（3n-1）•

1

3n+1

]=2[3•

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1

3

-（3n-1）•

1

3n+1

]，
所以 Tn=

7

2

-

7

2

•

1

3n

-

n

3n-1

，
从而Tn=

7

2

-

7

2

•

1

3n

-

n

3n-1

＜

7

2

．

点评：本题考查由递推式求数列通项公式、数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，应熟练掌握．