Question

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若实数a满足f（2a+1）＜1，则a的取值范围是（　　） x -2 0 4 f（x） 1 -1 1

• A．(0，

  3

  2

  )
• B．(-

  1

  2

  ，

  3

  2

  )
• C．(

  1

  2

  ，

  7

  2

  )
• D．(-

  3

  2

  ，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性，即可求a的取值范围．

解答：解：由导函数的图形知，x∈（-2，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
∵f（2a+1）＜1
∴-2＜2a+1＜4
∴-

3

2

＜a＜

3

2

∴a的取值范围是(-

3

2

，

3

2

)
故选D．

点评：利用导函数求函数的单调性问题，应该先判断出导函数的符号，当导函数大于0对应函数单调递增；当导函数小于0，对应函数单调递减．