Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A（0，5），B（-8，3），直线CD过坐标原点O，且在线段AB的右下侧，求：
（1）椭圆G的方程；
（2）四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先将点A（0，5），B（-8，3），代入椭圆的方程解得：a=10 b=5，最后写出椭圆G的方程；
（2）连OB，则四边形ABCD的面积=S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC，=

1

2

|y_B|AO+

1

2

d_A×OD+

1

2

d_B×OC，d_A，d_B分别表示A，B到直线CD的距离，设CD：-kx+y=0，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，再结合求根公式即可求得四边形ABCD的面积，最后结合基本不等式求最大值，从而解决问题．

解答：解：（1）将点A（0，5），B（-8，3），代入椭圆的方程得：b=5，且

64

a2

+

9

b2

=1
解得：a=10 b=5，椭圆G的方程为：

x2

100

+

y2

25

=1
（2）连OB，则四边形ABCD的面积：S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC=

1

2

|y_B|AO+

1

2

d_A×OD+

1

2

d_B×OC
d_A，d_B分别表示A，B到直线CD的距离，设CD：-kx+y=0，代入椭圆方程得：
x²+4k²x²-100=0，
∴D（

10

1+4k 2

，

10k

1+4k 2

）
OC=OD=

10 1+k 2

1+4k 2

，
又d_A=

5

1+k 2

，d_B=

8k-3

1+k 2

，
∴四边形ABCD的面积：S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC=

1

2

|y_B|×AO+

1

2

d_A×OD+

1

2

d_B×OC
=

5

1+k 2

×

10 1+k 2

1+4k 2

+

1

2

8k-3

1+k 2

×

10k

1+4k 2

=20+10×

1+5k+16k 2

1+4k 2

≤20+10

5

．
四边形ABCD的面积的最大值为：20+10

5

．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．