Question

如图，矩形的长AD=2

3

，宽AB=1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限．求OB²最大值．

Answer 1

分析：过点B作BH⊥OA，垂足为H．设∠OAD=θ进而表示出∠BAH和OA，HB，AH，然后利用勾股定理求得OB的解析式，利用θ的范围确定OB²最大值．

解答：解：过点B作BH⊥OA，垂足为H．
设∠OAD=θ，则∠BAH=

π

2

-θ．
OA=2

3

cosθ，BH=sin(

π

2

-θ)=cosθ，
AH=cos(

π

2

-θ)=sinθ．
OB2=(2

3

cosθ+sinθ)2+cos2θ
=7+6cos2θ+2

3

sin2θ．
=7+4

3

sin(2θ+

π

3

)
由0＜θ＜

π

2

知

π

3

＜2θ+

π

3

＜

4π

3

，
所以，当θ=

π

12

时，OB²取得最大值7+4

3

．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是根据题意建立三角函数模型，借助三角函数的基本性质解决问题．