Question

已知函数y=f(x)的定义域为R，并且满足f(2+x)=f(2-x).

(1)证明函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称；

(2)若f(x)又是偶函数，且x∈［0，2］时，f(x)=2x-1,求x∈［-4，0］时的f(x)的表达式.

Answer 1

（1）证明：设P(x₀,y₀)是函数y=f(x)的图象上任意一点，则y₀=f(x₀).

点P关于直线x=2的对称点P′的坐标应为(4-x₀,y₀).

∵f(4-x₀)=f［2+（2-x₀）］=f［2-(2-x₀)］=f(x₀)=y₀.

∴点P′也在函数y=f(x)的图象上.

∴函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.

（2）解析：由f(x)=2x-1,x∈［0，2］及f(x)为偶函数，得f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈［-2，0］；

当x∈［2，4］时，由f(x)图象关于x=2对称,用4-x代入f(x)=2x-1,

得f(4-x)=f(x)=2(4-x)-1=-2x+7,x∈［2，4］,再由f(x)为偶函数，

得f(x)=2x+7,x∈［-4，-2］.

故f(x)=