Question

已知点M到双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的左、右焦点的距离之比为2：3．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若点M的轨迹上有且仅有三个点到直线y=x+m的距离为4，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）确定双曲线的左、右焦点，利用距离之比为2：3，建立方程，化简可得点M的轨迹方程；
（2）圆上有且仅有三点到直线y=x+m的距离为4，所以圆心到直线y=x+m的距离为8，即可求出结论．

解答：解：（1）双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的左、右焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）．…（1分）
设点M（x，y），则

MF1

MF2

=

2

3

，即

(x+5)2+y2

(x-5)2+y2

=

2

3

．     …（3分）
化简得点M的轨迹方程为x²+y²+26x+25=0．        …（7分）
（2）点M的轨迹方程即为（x+13）²+y²=144，它表示以（-13，0）为圆心，12为半径的圆．       …（9分）
因为圆上有且仅有三点到直线y=x+m的距离为4，
所以圆心到直线y=x+m的距离为8，即

|-13+m|

1+1

=8．  …（12分）
解得 m=13±8

2

．                                 …（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查双曲线的几何性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．