Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD'所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据勾股定理可知AE⊥BE，然后根据面面垂直的性质定理可知BE⊥平面AED'，而AD'?平面AED'，最后根据线面垂直的性质可知AD'⊥BE；
（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，作FG⊥BD'，垂足为G，则FG⊥平面ABD'，连接AG，则∠FAG是直线AC与平面ABD'所成的角，在Rt△AEF中，求出AF，在Rt△EBD'中，求出FG，最后在三角形FAG求出此角的正弦值即可．

解答：解：（Ⅰ）在Rt△BCE中，BE=

BC2+CE2

=

2

，
在Rt△AD'E中，AE=

D′A2+D′E2

=

2

，
∵AB²=2²=BE²+AE²，
∴AE⊥BE．（2分）
∵平面AED'⊥平面ABCE，且交线为AE，
∴BE⊥平面AED'．（4分）
∵AD'?平面AED'，
∴AD'⊥BE．（6分）
（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知AD'⊥BE，
∵AD'⊥ED'，
∴AD'⊥平面EBD'，（8分）
∵AD'?平面AED'，
∴平面ABD'⊥平面EBD'，且交线为BD'，
如图，作FG⊥BD'，垂足为G，则FG⊥平面ABD'，（10分）
连接AG，则∠FAG是直线AC与平面ABD'所成的角．（11分）
由平面几何的知识可知

EF

FB

=

EC

AB

=

1

2

，∴EF=

1

3

EB=

2

3

．
在Rt△AEF中，AF=

AE2+EF2

=

2+ 2 9

=

2 5

3

，
在Rt△EBD'中，

FG

FB

=

D′E

D′B

，可求得FG=

2 6

9

．
∴sin∠FAG=

FG

AF

=

2 6 9

2 5 3

=

30

15

．（14分）
∴直线AC与平面ABD'所成的角的正弦值为

30

15

．

点评：本题主要考查线面垂直的性质，以及线面所成角的度量，同时考查空间想象能力，计算能力，转化与化归的思想，解题的关键是寻找线面所成角．