题目内容
（2007•南京二模）已知F为椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）若∠MON=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）若
| OM |
| MN |
| FA |
| 1 |
| 3 |
| AN |
分析：（Ⅰ）由双曲线的两条渐近线的夹角以及双曲线的焦点位置可得到关于a，b的等式，再根据双曲线的焦距又可得到一个含a，b的等式，解得a，b的值，代入椭圆
+
=1中，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）根据
•
=0可知直线l垂直于l1，因为l1是双曲线的渐近线，可求出l1的方程，再根据l垂直于l1，就可得到l的斜率，再根据F点坐标求出直线l的方程，再由
=
求出A点坐标，代入椭圆方程，就可得到关于a，c的齐次式，因为离心率e=
，即可求出离心率e．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅱ）根据
| OM |
| MN |
| FA |
| 1 |
| 3 |
| AN |
| c |
| a |
解答：解：（Ⅰ）∵双曲线
-
=1的焦点在x轴上，
∴渐近线方程为y=±
x
∴渐进线l1的斜率为
又∵∠MON=
，M，N是直线l与双曲线两条渐近线l1，l2的交点，
∴渐进线l1的倾斜角为
，
∴
=tan
=
，即a=
b
∵双曲线的焦距为4，
∴a2+b2=4．
把a=
b代入，得，a2=3，b2=1
∴椭圆方程为
+y2=1
（Ⅱ）解：设椭圆的焦距为2c，则点F的坐标为（c，0）
∵
•
=0，∴l⊥l1
∵直线l1的方程为y=-
x，∴直线l的斜率为
，
∴直线l的方程为y=
(x-c)
联立l1，l方程，由
解得
即点N(
，
)
设A（x，y），由
=
，得(x-c，y)=
(
-x，
-y)
即
，解得，
∴A(
，
)
∵点A在椭圆上，代入椭圆方程，得
+
=1
即 （3c2+a2）2+a4=16a2c2，
∴（3e2+1）2+1=16e2，即9e4-10e2+2=0
解得e2=
∴e=
椭圆的离心率是e=
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴渐近线方程为y=±
| b |
| a |
∴渐进线l1的斜率为
| b |
| a |
又∵∠MON=
| π |
| 3 |
∴渐进线l1的倾斜角为
| π |
| 6 |
∴
| b |
| a |
| π |
| 6 |
| ||
| 3 |
| 3 |
∵双曲线的焦距为4，
∴a2+b2=4．
把a=
| 3 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 3 |
（Ⅱ）解：设椭圆的焦距为2c，则点F的坐标为（c，0）
∵
| OM |
| ON |
∵直线l1的方程为y=-
| b |
| a |
| a |
| b |
∴直线l的方程为y=
| a |
| b |
联立l1，l方程，由
|
|
即点N(
| a2 |
| c |
| ab |
| c |
设A（x，y），由
| FA |
| 1 |
| 3 |
| AN |
| 1 |
| 3 |
| a2 |
| c |
| ab |
| c |
即
|
|
∴A(
| 3c2+a2 |
| 4c |
| ab |
| 4c |
∵点A在椭圆上，代入椭圆方程，得
| (3c2+a2)2 |
| 16a2c2 |
| a2 |
| 16c2 |
即 （3c2+a2）2+a4=16a2c2，
∴（3e2+1）2+1=16e2，即9e4-10e2+2=0
解得e2=
5±
| ||
| 9 |
∴e=
| ||||
| 3 |
椭圆的离心率是e=
| ||||
| 3 |
点评：本题（Ⅰ）主要考查了双曲线的渐近线方程，以及双曲线中a，b，c之间的关系的应用．（Ⅱ）考查了直线与圆锥曲线关系的判断，以及椭圆离心率的求法．
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