Question

已知三次函数f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²-6x+1（x∈R），a，b为实常数．
（1）若a=3，b=3时，求函数f（x）的极大、极小值；
（2）设函数g（x）=f′（x）+7，其中f′（x）是f（x）的导函数，若g（x）的导函数为g′（x），g′（0）＞0，g（x）与x轴有且仅有一个公共点，求

g(1)

g′(0)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）当a=3，b=3时，得到f(x)=x3+

3

2

x2-6x+1，求其导函数，列表得到函数的单调区间，进而可得函数的极值；
（2）由函数g（x）求导，得到g'（0）=b，g（1）=a+b+1，再由g（x）与x轴有且仅有一个公共点，得到b²-4a=0，利用基本不等式，即可得到

g(1)

g′(0)

的最小值．

解答：解：（1）f(x)=x3+

3

2

x2-6x+1，∴f'（x）=3x²+3x-6=3（x-1）（x+2），
令f'（x）=0，∴x₁=-2，x₂=1，

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

f_极大值=f（-2）=11，f极小值=f(1)=-

5

2

．
（2）由于g（x）=ax²+bx-6+7=ax²+bx+1（a≠0），
则g'（x）=2ax+b，g'（0）=b＞0，
又由g（x）与x轴有且仅有一个公共点，则b²-4a=0，
则

g(1)

g′(0)

=

a+b+1

b

=

a+1

b

+1=

b2 4 +1

b

+1=

b

4

+

1

b

+1≥2

b 4 1 b

+1=2，
（当且仅当

b

4

=

1

b

，即b=2时，等号成立）
则(

g(1)

g′(0)

)min=2．

点评：本题考查利用导数研究函数极值，以及利用基本不等式求最值问题，属于中档题．