Question

（本小题满分12分）

（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式；

      2由推导两角和的正弦公式.

（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.

Answer 1

本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P₁，终边交⊙O于P₂；角β的始边为OP₂，终边交⊙O于P₃；角－β的始边为OP₁，终边交⊙O于P₄.

则P₁(1,0),P₂(cosα,sinα)

P₃(cos(α＋β),sin(α＋β)),P₄(cos(－β),sin(－β))  

由P₁P₃＝P₂P₄及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]²＋sin²(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]²＋[sin(－β)－sinα]²

展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分

②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα

sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

           ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

           ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分

(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c

则S＝bcsinA＝

＝bccosA＝3＞0 

∴A∈(0, ),cosA＝3sinA

又sin²A＋cos²A＝1，∴sinA＝,cosA＝

由题意，cosB＝,得sinB＝

∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝ 

故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分