题目内容
如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．（I）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P．
（i）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°≤θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．
分析：（I）欲证平面A1ACC1⊥平面B1BCC1，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）（i）根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值，从而得到p=
的最大值．
（ii）p取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面A1ACC1的一个法向量与平面B1OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．
（Ⅱ）（i）根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值，从而得到p=
| V1 |
| V |
（ii）p取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面A1ACC1的一个法向量与平面B1OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）因为AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，
因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1，
而BC?平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．
（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 V1=
AC•BC•2r=AC•BC•r，
又因为AC2+BC2=AB2=4r2，
所以 AC•BC≤
=2r2，当且仅当 AC=BC=
r时等号成立，
从而V1≤2r3，而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3，
故p=
≤
=
，
当且仅当 AC=BC=
r，即OC⊥AB时等号成立，
所以p的最大值是
．
（ii）p取最大值时，OC⊥AB，
于是以O为坐标原点，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r），
因为BC⊥平面A1ACC1，
所以
=(r，-r，0)是平面A1ACC1的一个法向量，
设平面B1OC的法向量
=(x，y，z)，
由
得
，
故
，
取z=1得平面B1OC的一个法向量为
=(0，-2，1)，
因为0°＜θ≤90°，
所以 cosθ=|cos?
，
＞|
=|
|
=|
|
=
．
因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1，
而BC?平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．
（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 V1=
| 1 |
| 2 |
又因为AC2+BC2=AB2=4r2，
所以 AC•BC≤
| AC2+BC2 |
| 2 |
| 2 |
从而V1≤2r3，而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3，
故p=
| V1 |
| V |
| 2r3 |
| 2πr3 |
| 1 |
| π |
当且仅当 AC=BC=
| 2 |
所以p的最大值是
| 1 |
| π |
（ii）p取最大值时，OC⊥AB，
于是以O为坐标原点，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r），
因为BC⊥平面A1ACC1，
所以
| BC |
设平面B1OC的法向量
| n |
由
|
|
故
|
取z=1得平面B1OC的一个法向量为
| n |
因为0°＜θ≤90°，
所以 cosθ=|cos?
| n |
| BC |
=|
| ||||
|
|
=|
| 2r | ||||
|
=
| ||
| 5 |
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．
练习册系列答案
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