题目内容

(1)证明:平面A1ACC1⊥平面B1BCC1;
(2)设AB=AA1=2,点C为圆柱OO1底面圆周上一动点,记三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V.
①求V的最大值;
②记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ(0°<θ≤90°),当V取最大值时,求cosθ的值;
③当V取最大值时,在三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1内(包括边界)的动点P到直线B1C1的距离等于它到直线AC的距离,求动点P到点C距离|PC|的最值.
分析:(1)利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明;
(2)①解法一:利用三棱柱的体积公式和基本不等式的性质即可求出;解法二:利用三棱柱的体积计算公式和三角函数的单调性和最值即可求出;
②通过建立空间直角坐标系,分别求出此两个平面的法向量,利用法向量的夹角和二平面的二面角的关系即可求出;
③建立如图所示的平面直角坐标系,根据题意分别表示出有关的距离,列出方程即可得出.
(2)①解法一:利用三棱柱的体积公式和基本不等式的性质即可求出;解法二:利用三棱柱的体积计算公式和三角函数的单调性和最值即可求出;
②通过建立空间直角坐标系,分别求出此两个平面的法向量,利用法向量的夹角和二平面的二面角的关系即可求出;
③建立如图所示的平面直角坐标系,根据题意分别表示出有关的距离,列出方程即可得出.
解答:(1)证明:∵A1A⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴A1A⊥BC.
∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC.
又AC∩A1A=A,∴BC⊥平面A1ACC1
而BC?平面B1BCC1,∴平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.
(2)①解法一:由已知圆柱的底面半径为1,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=
AC•BC•2=AC•BC.
又∵AC2+BC2=AB2=4,∴AC•BC≤
=2,当且仅当AC=BC=
时等号成立.
从而,Vmax=2,当AC=BC=
时取得最大值.
解法二:由已知圆柱的底面半径为1,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=
AC•BC•2=AC•BC.
设∠BAC=α(0°<α<90°),则AC=ABcosα=2cosα,BC=ABsinα=2sinα.
由于AC•BC=4sinαcosα=2sin2α≤2,当且仅当sin2α=1即α=45°时等号成立,故Vmax=2.
②由①知,V取最大值时,OC⊥AB.于是,以O为坐标原点,OB为y轴,OO1为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
则C(1,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2).
∵BC⊥平面A1ACC1,∴
=(1,-1,0)是平面A1ACC1的一个法向量.
设平面B1OC的法向量
=(x,y,z),由
得
,
令z=1,则y=-2.
得平面B1OC的一个法向量为
=(0,-2,1).
∵0°<θ≤90°,∴cosθ=|cos<
,
>|=
=
=
.
③以C为坐标原点,AC为x轴正方向,CC1为y轴正方向,建立平面直角坐标系xCy,
则设P(x,y),C(0,0),C1(0,2),A1(-
,2),A(-
,0),
动点P到直线B1C1的距离即为|PC1|,到直线AC的距离等于|y|,
∴
=|y|,化简得动点P的轨迹方程为y=
+1(-
≤x≤0),其轨迹为以CC1的中点(0,1)为顶点,开口向上的抛物线的一段,-
≤x≤0.
∴|PC|=
=
=
,
由-
≤x≤0得1≤y≤
,∴当y=1时,|PC|min=1;y=
时,|PC|max=
.
∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC.
又AC∩A1A=A,∴BC⊥平面A1ACC1
而BC?平面B1BCC1,∴平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.
(2)①解法一:由已知圆柱的底面半径为1,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=
1 |
2 |

又∵AC2+BC2=AB2=4,∴AC•BC≤
AC2+BC2 |
2 |
2 |
从而,Vmax=2,当AC=BC=
2 |
解法二:由已知圆柱的底面半径为1,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=
1 |
2 |
设∠BAC=α(0°<α<90°),则AC=ABcosα=2cosα,BC=ABsinα=2sinα.
由于AC•BC=4sinαcosα=2sin2α≤2,当且仅当sin2α=1即α=45°时等号成立,故Vmax=2.
②由①知,V取最大值时,OC⊥AB.于是,以O为坐标原点,OB为y轴,OO1为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
则C(1,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2).
∵BC⊥平面A1ACC1,∴
BC |
设平面B1OC的法向量
n |
|
|
令z=1,则y=-2.
得平面B1OC的一个法向量为
n |

∵0°<θ≤90°,∴cosθ=|cos<
n |
BC |
|
| ||||
|
|
2 | ||||
|
| ||
5 |
③以C为坐标原点,AC为x轴正方向,CC1为y轴正方向,建立平面直角坐标系xCy,
则设P(x,y),C(0,0),C1(0,2),A1(-
2 |
2 |
动点P到直线B1C1的距离即为|PC1|,到直线AC的距离等于|y|,
∴
x2-(y-2)2 |
x2 |
4 |
2 |
2 |
∴|PC|=
x2+y2 |
4y+4+y2 |
(y+2)2-8 |
由-
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
| ||
2 |
点评:本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理,三棱柱的体积公式及基本不等式的性质或三角函数求最值,二面角的平面角和抛物线的定义等内容,熟练掌握有关的知识与方法是解题的关键.

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