题目内容

(1)证明:平面A1ACC1⊥平面B1BCC1;
(2)设AB=AA1,在圆柱OO1内随机选取一点,记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P.当点C在圆周上运动时,记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ(0°<θ≤90°),当P取最大值时,求cosθ的值.
分析:(1)欲证平面A1ACC1⊥平面B1BCC1,关键是找线面垂直,根据直线与平面垂直的判定定理知BC⊥平面A1ACC1;
(2)根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值,从而得到P=
的最大值,P取最大值时,OC⊥AB,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,求出平面A1ACC1的一个法向量与平面B1OC的一个法向量,然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值.
(2)根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值,从而得到P=
V1 |
V |
解答:解:(Ⅰ)因为AA1⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以AA1⊥BC,
因为AB是圆O直径,所以BC⊥AC,又AC∩AA1=A,所以BC⊥平面A1ACC1,
而BC?平面B1BCC1,所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.
(Ⅱ)设圆柱的底面半径为r,则AB=AA1=2r,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1=
AC•BC•2r=AC•BC•r,又因为AC2+BC2=AB2=4r2,
所以AC•BC≤
=2r2,当且仅当AC=BC=
r时等号成立,
从而V1≤2r3,而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3,
故P=
≤
=
,当且仅当AC=BC=
r,即OC⊥AB时等号成立,
所以P的最大值是
.
P取最大值时,OC⊥AB,于是以O为坐标原点,
建立空间直角坐标系O-xyz,设OB为y轴的正半轴,OC为x轴正半轴,OO1为z轴的正半轴,
则C(r,0,0),B(0,r,0),B1(0,r,2r),
因为BC⊥平面A1ACC1,所以
=(r,-r,0)是平面A1ACC1的一个法向量,
设平面B1OC的法向量
=(x,y,z),由
得
,故
,
取z=1得平面B1OC的一个法向量为
=(0,-2,1),因为0°<θ≤90°,
所以cosθ=|cos?
,
>|=|
|=|
|=
.

因为AB是圆O直径,所以BC⊥AC,又AC∩AA1=A,所以BC⊥平面A1ACC1,
而BC?平面B1BCC1,所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.
(Ⅱ)设圆柱的底面半径为r,则AB=AA1=2r,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1=
1 |
2 |
所以AC•BC≤
AC2+BC2 |
2 |
2 |
从而V1≤2r3,而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3,
故P=
V1 |
V |
2r3 |
2πr3 |
1 |
π |
2 |
所以P的最大值是
1 |
π |
P取最大值时,OC⊥AB,于是以O为坐标原点,
建立空间直角坐标系O-xyz,设OB为y轴的正半轴,OC为x轴正半轴,OO1为z轴的正半轴,
则C(r,0,0),B(0,r,0),B1(0,r,2r),
因为BC⊥平面A1ACC1,所以
BC |
设平面B1OC的法向量
n |
|
|
|
取z=1得平面B1OC的一个法向量为
n |
所以cosθ=|cos?
n |
BC |
| ||||
|
|
2r | ||||
|
| ||
5 |
点评:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想.

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