Question

17.如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=a.

（Ⅰ）求证：A₁D⊥B₁C₁；

（Ⅱ）求点D到平面ACC₁的距离；

（Ⅲ）判断A₁B与平面ADC₁的位置关系，并证明你的结论.

Answer 1

17.

（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC.

又A₁A⊥底面ABC，∴A₁A⊥BC，∴BC⊥平面A₁AD，∴A₁D⊥BC.

∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁.

证法二：连结A₁C，则A₁C=A₁B.

∵点D是等腰△A₁CB的底边BC的中点，

∴A₁D⊥BC.

∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁.

 

（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，

∵平面ACC₁⊥平面ABC.

∴DE⊥平面ACC₁于E，

即DE的长为点D到平面ACC₁的距离.

在Rt△ADC中，AC=2CD=a，AD=a，

∴所求距离DE==a.

 

解法二：设点D到平面ACC₁的距离为x.

∵体积=V

 

∴·a²·CC₁=·a·CC₁·x，

 

∴x=a，即点D到平面ACC₁的距离为a.

 

（Ⅲ）答：直线A₁B∥平面ADC₁.证明如下：

证法一：如图1，连结A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点.

∵D是BC的中点，∴DF∥A₁B.

又DF平面ADC₁，A₁B平面ADC₁，

∴A₁B∥平面ADC₁.

 

证法二：如图2，取C₁B₁的中点D₁，则AD∥A₁D₁，C₁D∥D₁B，

∴AD∥平面A₁D₁B，且C₁D∥平面A₁D₁B，

∴平面ADC₁∥平面A₁D₁B.

∵A₁B平面A₁D₁B，∴A₁B∥平面ADC₁.