Question

已知点P是圆C:x²+y²=1外一点.设k₁、k₂分别是过点P的圆C两条切线的斜率.

(1)若点P坐标为(2,2),求k₁·k₂的值;

(2)若k₁·k₂=-λ(其中λ＞1),求点P的轨迹M的方程,并指出M所在圆锥曲线的类型.

Answer 1

解:(1)设过点P的圆C切线为y=k(x-2)+2,∴d==1.∴3k²-8k+3=0.

∴k₁k₂=1.

(2)设过点P的圆C切线为y=k(x-x_P)+y_P,∴d==1.

∴(x_P²-1)k²-2x_Py_Pk+y_P²-1=0.

其中x_P²-1≠0,Δ=(2x_Py_P)²-4(x_P²-1)(y_P²-1)=4(x_P²+y_P²-1)＞0(点P是圆C外一点).

∴k₁k₂==-λ(其中x_P²-1≠0).∴λx_P²+y_P²=λ+1(其中x_P≠±1).

∴=1(其中x_P≠±1).∴+=1(其中x_P≠±1).

∵λ＞1,∴M所在圆锥曲线是椭圆.