Question

已知点P是圆C:x²+y²=1外一点.设k₁,k₂分别是过点P的圆C的两条切线的斜率.

(1)若点P坐标为(2,2),求k₁·k₂的值;

(2)若k₁·k₂=-λ(λ≠-1,0),求点P的轨迹M的方程,并指出曲线M所在圆锥曲线的类型.

Answer 1

解:(1)设过点P的切线斜率为k,方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0.

其与圆相切,则=1,化简得3k²-8k+3=0.所以k₁·k₂=1.

(2)设点P坐标为(x₀,y₀),过点P的切线斜率为k,则方程为y-y₀=k(x-x₀),

即kx-y-2k+2=0.其与圆相切,则=1,化简得(x₀²-1)k²-2x₀y₀k+(y₀²-1)=0.

因为k₁,k₂存在,则x₀≠±1,且Δ=(2x₀y₀)²-4(x₀²-1)(y₀²-1)=4(x₀²+y₀²-1)＞0,

k₁,k₂是方程的两个根,所以k₁·k₂==-λ,化简得λx₀²+y₀²=λ+1,即所求的曲线M的方程为λx²+y²=λ+1(x≠±1).

若λ∈(-∞,-1),M所在圆锥曲线是焦点在x轴上的双曲线;

若λ∈(-1,0),M所在圆锥曲线是焦点在y轴上的双曲线;

若λ∈(0,1),M所在圆锥曲线是焦点在x轴上的椭圆;

若λ=1,M所在圆锥曲线是圆;

若λ∈(1,+∞),M所在圆锥曲线是焦点在y轴上的椭圆.